Taschentücher, interessante Zahlen und die Unsterblichkeit

Nachdem ich mich vor einiger Zeit der Rekursion gewidmet habe, komme ich heute zu einer weiteren tollen Sache: vollständige Induktion. Das großartige an vollständiger Induktion ist, daß man damit viele tolle Sachen beweisen kann, z.B. daß unendlich viele Taschentücher in einen Koffer passen und daß alle natürlichen Zahlen interessant sind. Sogar die eigene Unsterblichkeit läßt sich damit zeigen.

Vollständige Induktion

Zuerst wollen wir erst einmal klären, was vollständige Induktion überhaupt ist.

Vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, nach der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird. Da es sich um unendlich viele Zahlen handelt, kann solch ein Beweis nicht für alle Einzelfälle durchgeführt werden. Er wird daher in zwei Etappen durchgeführt: als Induktionsanfang für eine kleinste Zahl (meist 1 oder 0) und als Induktionsschritt, der aus der Aussage für eine variable Zahl die entsprechende Aussage für die nächste Zahl logisch ableitet.Wikipedia

Das klingt kompliziert, ist es aber nicht, wie wir gleich an nachfolgenden Beispielen sehen werden.

In einen Koffer passen unendlich viele Taschentücher

Wie wir am folgenden Beispiel sehen können, ist die vollständige Rekursion sehr nützlich bei Reisevorbereitungen, genauer gesagt beim Kofferpacken.

Unsere Induktionsbehauptung ist in diesem Fall, daß in einen Koffer, egal wie voll er ist, noch ein Taschentuch hineinpaßt.

Schauen wir uns mal den Induktionsanfang an: Wir haben einen taschentuchfreien Koffer mit einem beliebigen, aber von nun an festen Füllstand. In diesen soll nun noch ein Taschentuch hineingepackt. Wir öffnen nun den Koffer, legen das Taschtuch hinein und schließen den Koffer wieder. So wenig Platz, wie ein Taschentuch wegnimmt, war diese Operation überhaupt kein Problem.

Nun haben wir wieder einen Koffer mit einem bestimmten Füllstand. Auch hier werden wir wieder feststellen, daß problemlos ein Taschtuch hineinpaßt. Dadurch erhalten wir wieder einen Koffer mit bestimmten Füllstand. Das ist unser Induktionsschritt.

Damit wird offensichtlich: Egal wie voll ein Koffer ist, es paßt immer noch ein Taschentuch hinein. Daraus folgt dann ganz klar: In einen Koffer passen unendlich viele Taschentücher.

Interessanter Nebenaspekt: Betrachtet man Taschentücher als Daten, steht mit einem Koffer ein Datenträger mit unbegrenzter Kapazität zur Verfügung.

Alle natürlichen Zahlen sind interessant

Es läßt sich beweisen, daß alle natürlichen Zahlen interessant sind.

Fangen wir damit an: Die Eins ist interessant, weil sie die kleinste natürliche Zahl ist. Die Zwei ist interessant, weil sie z.B. die einzige gerade Primzahl ist. Die Drei ist unter anderem interessant, weil sie die kleinste ungerade Primzahl ist. Die Vier ist die kleinste Quadratzahl.

So läßt sich zu jeder natürlichen Zahl etwas finden, was sie interessant macht. Der Nachfolger einer interessanten natürlichen Zahl ist somit immer interessant. Was nun aber, wenn sich zu einer natürlichen Zahl nichts finden läßt, was sie interessant macht? Dann wäre das die kleinste uninteressante natürliche Zahl, was sie wiederum interessant macht.

Daraus kann man ganz klar schließen: Alle natürlichen Zahlen sind interessant.

Unsterblichkeit

Zu Beginn des Artikels habe ich versprochen, daß man mit vollständiger Induktion die eigene Unsterblichkeit beweisen kann. Diesen Beweis habe ich zu Beginn meines Studium geführt, er wurde bisher nicht widerlegt.

Behauptung

(*) Ich bin unsterblich, d.h. an keinem Tag d \in N werde ich sterben.

Induktionsanfang

Es ist zu zeigen, daß (*) für d = 1 wahr ist.
Da ich noch immer am Leben bin, kann ich am Tag d = 1 nicht gestorben sein.
Daraus folgt, daß (*) für d = 1 wahr ist.

Induktionsannahme

An jedem beliebigen, aber festen Tag d mit d \ge 1, d \in N gilt (*).

Induktionsschluß

Voraussetzung: An jedem Tag d meines Lebens bin ich unsterblich.
Behauptung: An jedem Tag d + 1 bin ich unsterblich.

Die Aussage An jedem Tag d + 1 bin ich unsterblich. läßt sich durch die Aussage An jedem Tag d und am Tag 1 meines Lebens bin ich unsterblich. darstellen. Meine Unsterblichkeit am Tag d ist durch die Voraussetzung gegeben, meine Unsterblichkeit am Tag 1 wurde im Induktionsanfang bewiesen.

\leadsto Ich bin am Tag d + 1 unsterblich.
\leadsto Die Behauptung ist wahr, ich bin unsterblich.

Fazit

An diesen drei Beispielen kann man sehr gut sehen, wie nützlich vollständige Induktion ist. Kennt Ihr noch mehr von diesen Beweisen? Dann her damit!

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